175 Mathematische Formelentwicklungen und Aufgaben. § 178 Heft 
II 
messer H Hx trifft BBX in T, und der Schnitt des Parallelkreises mit dem Horizont steht _L auf 
HHj, welches die Nord-Südrichtung ist, ba UTV OMW. Legt man also in dem in Fig. 66 
herausgezeichneten Parallelkreis B Bj durch das so gefundene T eine Senkrechte zu B Blf so erhält 
mau die Punkte II und V, und Bogen UV = 2 s0 repräsentiert, wie schon gesagt, den gesuchten 
Tagebogen, dessen Grundzahl nun noch in Stunden zu verwandeln ist; je 15 Bogengrade sind 
nach obigem eine Stunde. 
Um hieraus die Formel der sphärischen Trigonometrie mit einem Schlag abzulesen, be- 
merke mau, daß der Radius des Parallelkreises BB^ nach früherem = MA • cos 8 = cos 8 
ist, falls wir den Radius der Himmelskugel =1 setzen. <JUCB ist =180° — s0, folglich 
CT 
CT = cos<5® • cos(180° — s0), CM = sinSQr — = tangy, oder für CT und CM ihre Werte 
cos 3© • cos(180° — s0) 
eingesetzt: = tang<P' woraus sofort folgt 
cos(180° — s0) = tangq? • tang<5© . 
Zahleubeispiel: Welches ist der längste Tag für Berlin, wenn dessen geo- 
graphische Breite cp = 52° 30' ist? 
Da für diesen Tag <5© = 23° 27' ist, so gibt unsere Formel 
cos (180° — s0) = tang 52° 30'. t.ang 23° 27'. 
Daraus findet man 
180° — So = 55° 32', 
mithin ist 
s0 = 180° — 55° 32' - 124° 28'. 
Der ganze Tagebogeu ist = 2 • s0 = 2 • 124° 28' = 248° 56', oder in Zeit ausgedrückt = 16 St. 
36 Min. 
Ii. Aus der Dauer des längsten Tages an einem Orte dessen geographische Breite 
»der Polhöhe zu bestimmen. 
Aus der Dauer des längsten Tages findet man sofort den Tagebogen = 2 s0 und somit 
auch s,). Die Deklination der Sonne 3© ist am längsten Tage — der Ekliptikschiefe x = 23° 27'. 
Die Unbekannte ist die Breite cp, und wir brauchen obige Formel nur nach cp aufzulösen. Es folgt 
tang^ = — — = cos(180° — s0) ■ cotge . 
tange 
Zahleubeispiel 1: Der längste Tag eines Ortes beträgt 20 Stunden. Welches 
ist seine geographische Breite? 
Aus der Proportion 
24 St. : 20 St. = 360° : 2 s0 
findet mau s0 = 150°, also ist 
lang cp — cos 30° - cotg 23° 27', 
folglich 
(p = 63° 22'. 
Zahlenbeispiel 2: Unter welcher Breite geht die Sonne am längsten Tag nicht 
unter? 
Da diesmal 2 Sg = 360°, also s0 = 180° wird, so hat man 
tangq? = cos 0° • cotg 23° 27' 
= tang(90° — 23° 27'), cp = 66° 33' (Polarkreis). 
Diese Art der Polhöhenbestimmung war schon Hipparch und Ptolemäus bekannt. Für 
ihre Breitentabellen und Erdkarten sammelten sie die Angaben über die Dauer des längsten 
Tages allerorts. Zu ihrer Zeit war die Schiefe der Ekliptik etwa 23° 51'. Nach Ptolemäus 
dauerte der längste Tag in Tyrns, Syrakus und Athen bzw. 14V4, 1472 und 143/5 Stunden. 
Die Städte haben die Breite: 33° 12', 37° 4', 37° 58'. Hat sich Ptolemäus also in der Angabe 
des längsten Taaes geirrt? 
Georp-Fckert-Instttüt 
12* 'krisle 
L> rschung 
Schul! jci.Bibliothek