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Mathematische Formelentwicklungen und Aufgaben.
s 179 Heft
II
nun offenbar, wenn der obere Sonnenrand den Horizont gerade noch berührt; der Mittelpunkt
der Sonne befinde sich dann in (einen Sonnenradius unter dem Horizont). Falls der Sonnen-
Mittelpunkt in angekommen ist, sei die Dämmerung zu Eude. Den durch S2 gehenden Kreis
H2H3 HHx nennt man den Dämmerungskreis; seine Lage nimmt man für die bürger-
liche Dämmerung zu h = 6V20, für die astronomische Dämmeruug zu h = 16—18°
unter dem Horizonte an. Die Konstruktion zur Ermittlung der Zeit, während welcher die Sonne
(abends) von bis 22 fällt oder (morgens) von bis 2\ steigt, d. h. des auf dem Parallel B Bx
entsprechenden Bogens, ist nun folgende: Ermittle aus cp und <5© wie in I die Lage von BB^
trage hierauf h° von H oder Hx aus nach H2 und H3 ab und ziehe den Dämmerungskreis und ebenso
durch Abtragen des (bekannten) Sonnenradius: H'H^. B Bx schneidet nun und 1^2^»
in den beiden Punkten 2\ und womit man nach Fig. 68 die zwei schraffierten Winkelräume
findet, welche, in Zeitmaß umgesetzt, die Dauer der Morgen- resp. Abenddämmerung repräsen-
tieren. (Durch verschiedene Figuren zeigt man, daß die Dauer der Dämmerung im allgemeinen
mit der geographischen Breite wächst, denn der Parallel schneidet in der sphaera obliqua den
Horizont und den Dämmerungskreis mehr oder weniger schief, so daß ^^2 größer werden
kann als am Äquator, wo in der spdasra rectä die Parallelkreise senkrecht zum Horizonte stehen.)
§115: Zonenberechnungen.
r,-66°33'
Der Flächeninhalt einer
Kugelzoue ist leicht zu berechnen,
wenn man von dem bekannten
stereometrischen Lehrsatz ausgeht,
daß die Fläche gleich ist dem
Produkt aus dem
Umfang des größten
Kreises der Kugel y>-23°27'
(r--Äquator) uud der
Höhe der Zone. Da
die Zonen der Erde
durch die geographi-
scheu Breiten «(Eklip- a
tikschiefe)nnd 90° — e,
also durch Winkel be-
stimmt sind, so muß
man die Höhen in trigonometrischen Funktionen ausdrücken. Es ist der Inhalt der Zone
B BxCCx — 2rjr(h1 —h). Ans der Figur 69 liest man aber ab
hj = r - sin 9^; h = r • sin<p,
so daß folgt
hx — h — r • sin y?i — r • sin cp — r (sin cp1 — sin cp)
= 2 r • sinifo — <p) - cos 1 (9^ + cp).
Folglich ist
Zone B Bx C Cx = 4 r2 ji • sin a (cp^ — cp) - cos ^{cp1 + <p).
Daraus ergibt sich für
1. die halbe heiße Zone [cPl = s; cp = 0)
§ 179
Abb. 69: Zu § 179.
4 - t2 ji • sin — • cos — = 2 r2 .
2 sin — • cos -- = 2 r2 jr • sine (
2. eine gemäßigte Zone (^ 90° — s; <p = e)
4- r2 jz • sin z (90° —2 e). cosi(90° — e + s) = 4 • r2 n ■ sin(45° — s) • cos 45°,
3. eine der kalten Zonen {cfl = 90°; <p = 90° — s)
4 • r2 7i • sin ^[90 (90° — e)] • cos J-(90° + 90° — s) — 4 • r2 jc • sin A- e • cos (90 — —
= 4 • r2 71 • sin2he \ 2
